Соответствием между множествами А и В называется некоторое подмножество G их декартова произведения:
Говорят, что соответствует при соответствии. При этом множество всех таких называют областью определения соответствия, а множество соответствующих значений называются областью значений соответствия .
В принятых обозначениях, каждый элемент, соответствующий данному элементу называется образом при соответствии, наоборот, элемент называется прообразом элемента при данном соответствии.
Пример: Элемент y = f(x), который сопоставлен элементу x, называется образом элемента (точки) x.
Если взять целое подмножество A области определения функции f, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества A, а именно подмножество области значений (функции f) вида, которое, называется образом множества A (при отображении f).
Наоборот, взяв некоторое подмножество B области значений функции f, можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции f), чьи образы попадают в множество B, а именно — множество вида,
которое называется прообразом множества B (при отображении f).
В том частном случае, когда множество B состоит из одного элемента, скажем, B = {y}, множество f− 1({y}) = {x:f(x) = y} имеет более простое обозначение f − 1(y).
Функцией называется любое функциональное соответствие между двумя множествами. Если функция устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет вид (обозначение ). Каждому элементу из своей области определения функция ставит в соответствие единственный элемент из области значений. Это записывается в традиционной форме . Элемент называется аргументом функции, элемент - её значением.
Полностью определённая функция называется отображением А в В. Если при этом есть соответствие сюръективно, говорят, что имеет отображение А на В.
Пример: Функция является отображением множества натуральных чисел в себя (функциональное соответствие). Эта же функция при всех является отображением множества целых чисел в множество рациональных чисел.