Взаимно-однозначное соответствие между множествами обладает следующими свойствами:

1.всюду определённое

2.сюръективное

3.является функцией

4.для каждого y ∈  имеется единственный прообраз

Соответствие называется взаимно-однозначным (биективным), если любому элементу множества соответствует единственный элемент множества, и наоборот. Можно сказать также, что соответствие является взаимно-однозначным, если оно является полностью определённым, сюръективным, функциональным, и при этом каждый элемент множества имеет единственный прообраз.

Пример: а) Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами слов русского и английского языка. Оно не является функциональным, так как почти каждому русскому слову соответствует несколько английских переводов; оно, также, не является, как правило, полностью определённым соответствием, так как всегда существуют английские слова, не включённые в данный словарь. Таким образом, это частичное соответствие.

б) Соответствие между расположенными на шахматной доске фигурами и занимаемыми ими полями является взаимно однозначным.

в) Соответствие между телефонами города Вязьмы и их пятизначными номерами обладает, на первый взгляд, всеми свойствами взаимно-однозначного соответствия. Однако оно, например, не сюръективно, поскольку существуют пятизначные числа, не соответствующие никаким телефонам.

Отображение множества А в множестве В – это соответствие, которое является всюду определённым.

Если добавить условие функциональности в соответствие сюръективное, то получается отображение А на множество В.

РИСУНОК: "ЗАКРАШЕННОЕ МНОЖЕСТВО А СТРЕМИТСЯ К МНОЖЕСТВУ В (У МНОЖЕСТВА В ЗАКРАШЕН ЛИШЬ ЧАСТЬ ЦЕНТРА)" 

Если добавить сюръективное

РИСУНОК: "ЗАКРАШЕННОЕ МНОЖЕСТВО А СТРЕМИТСЯ К ЗАКРАШЕННОМУ МНОЖЕСТВУ В"

Имеется прямое соответствие

H=G^-1 – обратное соответствие 

//теряется соответствие   

РИСУНОК: "НЕ ЗАКРАШЕННЫЕ МНОЖЕСТВА СТРЕМЯТСЯ ДРУГ К ДРУГУ"

В обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, поэтому для существования обратной функции  требуется, чтобы каждый элемент из области значения  имел бы единственный прообраз. Это означает, что для функции  обратная функция  существует тогда и только тогда, когда  является биективным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Если прямое соответствие – функция, то обратное соответствие не обязательно является функцией. Следует потребовать, чтобы прямое соответствие было взаимно-однозначным, тогда обратное соответствие останется функцией.

y=sinx

x ∈ A=R  [D(y)=R]

y ∈ B=R  [Im(y) = [-1;1]]