Отношения эквивалентности

Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример:

Отношение равенства на любом множестве является отношением эквивалентности.

Рассмотрим множеетво треугольников на плоскости, считая, что треугольник задан, если заданы координаты его вершин. Два треугольника называются конгруэнтными (иноrда их называют просто равными), если они при наложении совпадают, т. е. могут быть переведены друг в друга путем некоторого перемещения. Конгруэнтность является отношением эквивалентности на множестве треугольников.

Если на множестве задано отношение эквивалентности. То множество разбивается на пересекающиеся подмножества(классы эквивалентности). Элементы из одного класса находятся в бинарном отношении, элементы из разных классов – нет.

Можно осуществить следующие построения. Выберем элемент  и образуем класс (подмножество М) С₁, состоящий из а₁ и всех элементов, эквивалентных а₁. Затем выберем элемент  и образуем класс С₂, состоящий из а₂ и всех элемёнтов, зквивалентных а₂, и т. д. Получится система классов С₁, С₂, … (возможно, бесконечная) такая, что любой элемент из М входит хотя бы в один класс.

Эта система классов обладает следующими свойствами:

1) она образует разбиение, т. е. классы попарно не пересекаются;

2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3) любые два элемента из разных классов неэквивалентны.

Все эти свойства немедленно вытекают из рефлекеивности, симметричности и транзитивности ρ.